Algoritmu teorija "Fraktāļi"

Benua Mandelbrota visas pētnieciskās intereses un dzīves gaita ir saistīta ar fraktāļu ģeometriju. Viņš bija pirmais, kurš atklāja fraktāļus. Mūsdienās, pateicoties Benua Mandelbrotam ir iespēja izveidot objektus, kuri ir pārsteidzoši līdzīgi dabā esošajiem. Mandelbrota nopelns ir ne tikai attēlu konstruēšana ar fraktāļu palīdzību, jaunatklātajai teorijai ir daudz vairāk pielietojumu. To izmato gan matemātikā, gan fizikā, gan ekonomikā, gan datorgrafikā, kā arī citās daudzās jomās un sfērās.

Benua Mandelbrots izveidoja pavisam jaunu ģeometrijas teorēmu. Pie jaunas ģeometrijas Mandelbrots sāka strādāt 20.gadsimta 70 tajos gados. Viņš arī ir vārda "fraktālis" radītājs. Pētot un radot fraktāļus, Mandelbrots strādāja IBM Pētniecības laboratorijā ar lieljaudas datoriem un viens no pirmajiem apzinājās datoru neierobežotās iespējas matemātisko procesu attēlošanā. Fraktāļu ģeometrijā attēlošana ir ļoti būtiska, jo analītiskās izteiksmes tiek aizstātas ar vizuālu fraktāļa attēlu, ko pēta to palielinot un samazinot. Mandelbrots veica visdažādākos pētījumus un eksperimentus, liekot lietā gan lēcas un okulārus, mainot to stāvokli un pētot fraktāļa neierobežotās pārmaiņas, uzbūvi un savdabīgās īpašības, līdz nonāca līdz pārsteidzošiem secinājumiem.

Mandelbrots kļuvis slavens ar savu "Mandelbrota tīklu", jeb Mandelbrota fraktāli. Mandelbrota tīkls ir ar programmēšanas valodu palīdzību ģenerēts fraktālis, kurā var novērot fraktāļu visspilgtāko īpašību pašlīdzību. Tā pamatā ir iterācijas jeb daudzkārtējas atkārtošanas metode, vadoties pēc noteiktas matemātiskas formulas. Šo metodi izstrādāja G. Džulia un P. Fato, bet ar datora palīdzību attīstīja un modelēja B. Mandelbrots. Tīkls sastāv no daudziem maziem tīkliņiem, kurus sauc par Džūlija tīkliem. Džūlija tīklu raksturo nemitīga formu atkārtošanās, iedziļinoties objektā arvien dziļāk. Jo vairāk pietuvojas haotiskajām robežlīnijām, jo vairāk tas pašattēlo sevi un rada īpatnēju skaistumu. Sākuma formula, ar kura palīdzību iegūst Džulias un vēl daudz komplicētākos Mandelbrota tīklus, ir ļoti vienkārša:

kur Z komplekss manīgais ; c konstants parametrs. Formulā Z ir komplekss mainīgais, ar kuru veic n iterācijas. Neviens līdz Džuliam un Mandelbrotam pat iedomāties nevarēja, kādu apbrīnojamu skaistuma pasauli atvērs iterācijas pamatprincips.

Fraktāļi, kuriem piemīt pašlīdzība, un kuri ir iegūti parastu rekursīvu procedūru rezultātā (lineāru pārveidojumu kombinācijās), tiek saukti par konstruktīvajiem fraktāļiem. Tādā veidā, konstruktīvie fraktāļi tas ir tīkls, kurš ir iegūts līdzīgu lineāru (affinisku) saspiestu attēlu rezultātā. Rezultējošo saspiesto attēlu kopums tiek raksturots kā pastāvīgu “punktu” fraktāli. Acīmredzams, ka Mandelbrota fraktālis un Koha līkne ir dažādu tipu fraktāļi. Bet tiem kopīga ir tikai rekursīva ģenerācijas procedūra. Tāpēc fraktāļi tiek izdalīti noteiktās klasēs. Vispārpieņemtajā fraktāļu klasifikācijā fraktāļi iedalās: ģeometriskajos, algebriskajos un stohastiskajos.

Fraktāļi dod iespēju aprakstīt un attēlot dabā esošus objektus. Mūsdienās ar fraktāļu palīdzību ir iespējams attēlot gandrīz jebkuru objektu dabā. Svarīgi ir tikai atrast īsto formulu un iterācijas procesa metodi.