Skaitliskās metodes

Ja ir dots , tad izmanto dažādas integrāļu aprēķināšanas metodes, kuras visas pamatojas uz vienu ideju:

sadala intervālu (a;b) segmentos ar punktiem x1, x2 , ... , xn 1 n daļās un tad integrālis būs visu šo segmentu laukumu summa.

Sadala intervālu [a,b] n vienādās daļās ar garumu ;

Integrāļa vērtība ir aptuveni vienāda ar zīmējumā redzamo sarkano laukumu.

Integrāļa vērtība ir aptuveni vienāda ar zīmējumā redzamo zaļo laukumu.

Integrāļa vērtība ir aptuveni vienāda ar zīmējumā redzamo zilo laukumu.

Integrāļa vērtība ir aptuveni vienāda ar zīmējumā redzamo dzelteno laukumu.

Pieņem, ka intervālā [x0, xn], interpolācijas punktos xi (i=0, 1, 2, ..., n) ir zināma funkcijas y=f(x) vērtības f(xi). Funkcijas y=f(x) interpolējošo funkciju meklē polinomu p(x) veidā

, kur pj(x) ir n tās pakāpes polinomi

Tādā gadījumā tiek izpildīts interpolācijas nosacījums, ka polinomam f(x) mezglu punktos ir jāsakrīt vērtībām un , (i=0, 1, ..., n).

Apzīmē ar n+1 pakāpes polimomu, tad sākotnējo polinomu Ln(x) var pārrakstīt šādi:

Izdarot aprēķinus izmantojot kreiso, labo, vidējo taisnstūru metodi un trapeces medodi ieguvu šādus rezultātus:

Aplūkojot tabulā esošos rezultātus ir redzams, ka pie n=10 (dalījumu punktu skaits) rezultāti rēķinot ar dažādām metodēm diezgan atšķiras, bet pie lielākām n vērtībām tie gandrīz sakrīt, kas arī bija sagaidāms.

Var ievērot, ka rezultāts ar kreiso taisnstūru metodi samazinās, bet ar labo taisnstūru metodi palielinās, ja palielina n. Tas izskaidrojams ar to ka funkcija apskatāmajā intervālā [/8 ; /4] strauji dilst.

Visātrāk (mazāku n) pie precīzā atrisinājuma noāk, ja risina ar vidējo taisnstūru metodi. To arī varēja gaidīt salīdzinot kļudas aprēķina formulas vidējo taisnstūru formulai un trapeču formulai .

*( Reāli šo funkciju nav iespējams atrisināt ar kreiso taisnstūru un trapeču formulu, jo ln(0) nav definēta, tāpēc rezultāti kreisajo taisnstūru un trapeču formulai tika aprēķināti, ja a= x0 = 0.00000001  0.)

Aplūkojot tabulā esošos rezultātus ir redzams, ka pie n=10 (dalījumu punktu skaits) rezultāti rēķinot ar dažādām metodēm ļoti atšķiras, tie vel ļoti atšķiras ja n=50 un n=100, bet tomēr pie krietni lielākām n vērtībām tie gandrīz sakrīt. Lielo atšķirību var izskaidrot ar funkcijas ļoti straujo augšanu un tam ka funkcija asimptotiski tiecas uz 0.